Multiples symétriques de 19 - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) .

Démontrer que \(19\) divise \(13a+6b\) si, et seulement si, \(19\) divise \(6a+13b\) .

Solution

Supposons d'abord que \(19\) divise \(13a+6b\) .

Comme \(19\) divise \(19(a+b)\) , on en déduit que \(19\) divise aussi \(19(a+b)-(13a+6b)=19a+19b-13a-6b=6a+13b\) .

Réciproquement, supposons que \(19\) divise \(6a+13b\) .

Comme \(19\) divise \(19(a+b)\) , on en déduit que \(19\) divise aussi \(19(a+b)-(6a+13b)=19a+19b-6a-13b=13a+6b\) .